Παγιωμένη έκφραση αποτελεί σήμερα το "ένα και ένα κάνουν δύο", έκφραση που χρησιμοποιούμε για να δείξουμε πόσο ξεκάθαρο και απλό είναι κάτι που συζητάμε. Συχνά λέμε για κάποιον ανίδεο, άσχετο ή απλώς χαζό ότι αυτός "δεν ξέρει πόσο κάνει ένα και ένα". Ωστόσο, εμείς οι πληροφορικοί ξέρουμε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και το ζήτημα χρήζει διερεύνησης.

Ένας μαθητής της Γ΄ Λυκείου που πρόκειται να εξεταστεί στο μάθημα της Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (μάθημα που θα διδαχθεί για τελευταία χρονιά καθώς καταργείται) θα μπορούσε να αναφέρει ότι υπάρχει ζήτημα αποσαφήνισης του προβλήματος, ότι το πρόβλημα είναι ελλιπές ως προς τη σαφήνεια διατύπωσής του (παράγραφος 1.2 - Κατανόηση Προβλήματος, δες και το παράδειγμα με τον Γιάννη και τη Μαρία).

Διότι "ένα και ένα" μπορεί να σημαίνει πολλά πράγματα και η ορθή απάντηση αλλάζει ανάλογα με το τι ορίζουμε ως "και" αλλά και σε ποιο πλαίσιο-τομέα αναφέρεται η ερώτηση. Έχουμε λοιπόν:

• Στη δυαδική αριθμητική, όταν π.χ. θέλετε να προσθέσετε δύο δυαδικούς αριθμούς (που αποτελούνται μόνο από 0 και 1), "ένα και ένα" μας κάνει μηδέν (0) και έχουμε και κρατούμενο ένα (1).
• Όταν αναφερόμαστε στο δυαδικό (binary) σύστημα γενικά έχουμε ότι "ένα και ένα" μας κάνει 10.

There are 10 types of people. Those who understand binary and those who don't.

• Αν υποθέσουε ότι μιλάμε για ψηφιακά κυκλώματα ή για άλγεβρα Boole προφανώς το "και" αποτελεί την λογική πράξη της σύζευξης, οπότε "ένα και ένα" μας κάνει ένα (1). Δηλαδή, "Αληθές ΚΑΙ Αληθές" μας δίνει πάλι "Αληθές".
• Σε ένα προγραμματιστικό περιβάλλον, το "και" θα μπορούσε να είναι ο τελεστής της συνένωσης αλφαριθμητικών. Όπως για παράδειγμα στις διάφορες εκδόσεις της Basic όπου ο τελεστής & (umbersand στα αγγλικά όπου χρησιμοποιείται όπως και στα ελληνικά για να αποδώσει σύντομα το "και") κάνει συνένωση αλφαριθμητικών (χαρακτήρων δηλαδή). Οπότε εκεί "ένα και ένα" σημαίνει "1 & 1" που μας δίνει "11". Στη γλώσσα προγραμματισμού Java ο τελεστής "+" αποτελεί και τελεστή συνένωσης αλφαριθμητικών (string concatenation) οπότε αν τα "ένα" είναι αλφαριθμητικά έχουμε πάλι ότι "1"+"1" μας κάνει "11".
• Αν χρησιμοποιούμε modulo αριθμητική με βάση το 2 (σε ένα αναλογικό ρολόι με δείκτες έχουμε modulo αιθμητική με βάση το 12 όπου 11+3 μας κάνει 2) τότε "ένα και ένα" μας κάνει ένα (1).
• Σε τομείς όπου εμφανίζονται φαινόμενα συνέργειας με την έννοια της συνεργασίας, της συνδυασμένης δράσης (synergy) "ένα και ένα" μπορεί να μας δίνει οτιδήποτε μεγαλύτερο από δύο (2). Συνέργεια ονομάζουμε το φαινόμενο όπου δύο ή περισσότερες δράσεις (ενέργειες) παράγουν από κοινού αποτέλεσμα μεγαλύτερο από το απλό αλγεβρικό άθροισμα των αποτελεσμάτων που η κάθε μία θα είχε ξεχωριστά. Για παράδειγμα, αν έχουμε δύο ανθρώπους που θέλουν να φάνε μήλα από μια μηλιά που έχει όλο και όλο τρεις (3) καρπούς. Ένα μήλο είναι χαμηλά και το φτάνουν και οι δύο ενώ τα άλλα είναι ψηλά και δεν τα φτάνουν. Αν δράσουν μόνοι τους ο καθένας μπορεί να φάει ένα μήλο (αποτέλεσμα ένα για τον καθένα). Αν συνεργαστούν (συνέργεια) μπορεί ο ένας να ανέβει στους ώμος του άλλου και έτσι να φάνε τρία μήλα συνολικά. Στην περίπτωση αυτή "ένα και ένα" μας κάνει τρία (3).
• Στην μικροοικονομία έχουμε περιπτώσεις οικονομιών κλίμακας (economies of scale) όπου το κόστος ανά μονάδα προϊόντος μειώνεται και τα κέρδη ανά μονάδα προϊόντος αυξάνονται όσο μεγαλώνει η ποσότητα που παράγεται. Επίσης, η αύξηση κάποιων εισροών στην παραγωγή μεγαλώνει κατά πολύ περισσότερο την παραγόμενη ποσότητα. Αν ένα εργοστάσιο παράγει ένα αμάξι ανά ώρα τότε αν φτιάξουμε και ένα άλλο εργοστάσιο δίπλα του θα μπορούμε να παράγουμε πολύ παραπάνω από δύο αμάξια ανά ώρα. Σε αυτή την περίπτωση "ένα και ένα" μας δίνει κάτι μεγαλύτερο από δύο. (Αυτό εξηγεί και τη σαφή τάση που υπάρχει για μεγέθυνση των επιχειρήσεων και τη δημιουργία πολυεθνικών μεγάλων επιχειρήσεων που επικρατούν έναντι των μικρότερων).
• Αν υποθέσουμε ότι χρειάζεστε τον υπολογισμό "ένα και ένα" για να τον χρησιμοποιήσετε σε μια εκτίμηση Fermi (πρόβλημα Fermi ή ερώτηση Fermi) που σας τέθηκε. Σε αυτή την τεχνική εκτιμήσεων που παίρνει το όνομά της από τον φυσικό Ενρίκο Φέρμι (Enrico Fermi) προσπαθείτε να κάνετε κατά προσέγγιση υπολογισμούς όταν έχετε πολύ λίγα ή καθόλου δεδομένα για το πρόβλημα που σας απασχολεί. Σκοπός σας δεν είναι η εύρεση ενός ακριβούς αποτελέσματος αλλά πιο πολύ η διερεύνηση των παραγόντων που επηρεάζουν το πρόβλημα και εξαγωγή ενός αποτελέσματος που να προσεγγίζει απλώς την τάξη μεγέθους του πραγματικού αποτελέσματος ή να θέτει (πάντα κατά προσέγγιση) άνω και κάτω όρια για το αποτέλεσμα. Στις εκτιμήσεις Fermi μπορείτε να στρογγυλοποιείτε τις απαντήσεις σας στην πλησιέστερη τάξη μεγέθους (μας ενδιαφέρει μόνο το πλήθος των ψηφίων) χρησιμοποιώντας τον τύπο: Fermi(x)=10^{round(log₁₀x)}. Σε αυτή την περίπτωση "ένα και ένα" μας κάνει δύο αλλά Fermi(2)=1 οπότε η τελική απάντηση στην εκτίμηση Fermi είναι ότι "ένα και ένα" μας κάνει ένα.

• Σε πιο χαλαρούς ρυθμούς και σε αισθηματικό πλαίσιο όλοι γνωρίζουμε ότι στην αγάπη "ένα και ένα" κάνουν ένα (ελάτε, δεν χρειάζεται και πολύ ανάλυση).
• Με το προηγούμενο θα διαφωνήσουν οι βιολόγοι καθώς λόγω του φαινομένου της σεξουαλικής αναπαραγωγής των έμβιων όντων "ένα και ένα" μας κάνει κάτι παραπάνω από δύο (στους ανθρώπους και στις δυτικές κοινωνίες "ένα και ένα" μπορεί να μας δώσει τρία, τέσσερα, πέντε ή και παραπάνω ενώ στα κουνέλια "ένα και ένα" μας δίνει αποτέλεσμα από 10 μέχρι και 30 ανά χρόνο).
• Τα δύο τελευταία συμπυκνώνει ωραία ο Μανώλης Ρασούλης κατά τον οποίο "ένα και ένα" μπορεί να μας δώσει ένα, κανένα ή τρία αν ο υπολογισμός γίνει μετά από τον συλλογισμό του τι λέγεται στο καφενείο, στο μηχανουργείο και στο κουρείο αντίστοιχα.
• Με την έκφραση "ένα και ένα κάνουν δύο" σίγουρα θα διαφωνούσε και ο κορυφαίος και κλασικός συγγραφέας Φιοντόρ Ντοστογιέφσκι. Κατά τον Ντοστογιέφσκι, όπως αποτυπώνεται στο έργο του "Το Υπόγειο" ισχύει ότι "δύο και δύο κάνουν πέντε" οπότε αποκλείεται "ένα και ένα" να κάνουν δύο.

Μα δυο και δυο κάνουν τέσσερα, αυτό είναι ανυπόφορο πράγμα. Δυο και δυο κάνουν τέσσερα! Μα κατά τη γνώμη μου, κύριοι είναι αυθάδεια. Δυο και δυο κάνουν τέσσερα, μοιάζει με κάποιον αυθάδη που στέκεται στη μέση του δρόμου, με τα χέρια στη μέση και σου τον φράζει, σε προκαλεί. Συμφωνώ, δυο και δυο κάνουν τέσσερα, είναι έξοχο πράγμα: μα για να το θαυμάσω, όχι! Λοιπόν! δυο και δυο κάνουν πέντε, είναι καμιά φορά πιο χαριτωμένο αυτό.

Φιοντόρ Ντοστογιέφσκι, Το Υπόγειο

Νομίζω πως έχει γίνει ξεκάθαρο ότι ανάλογα με το πλαίσιο και τις παραδοχές που κάνουμε "ένα και ένα" μπορεί να μας δίνει διάφορα αποτελέσματα. Ας μην είμαστε λοιπόν απόλυτοι, και ας δαπανούμε λίγο χρόνο και υπομονή όταν οι μαθητές μας μας δίνουν μη αναμενόμενες και "προφανώς λάθος" απαντήσεις. Μπορεί απλώς να σκέφτονται διαφορετικά, να έχουν κάτι άλλο στο μυαλό τους ή να θέλουν να κερδίσουν την προσοχή λέγοντας ευφυολογήματα (όπως το παρόν άρθρο).

Πάντως, πέρα από τον Ντοστογιέφσκι, με τις παγιωμένες απόψεις περί των αποτελεσμάτων διάφορων συνηθισμένων αριθμητικών πράξεων διαφωνούν και άλλοι διάσημοι. Δείτε για παράδειγμα το ακόλουθο στιγμιότυπο από συνέντευξη του προπονητή και πρώην ποδοσφαιριστή της ΑΕΚ Τραϊανού Δέλλα.

Ωραία, κατά τον Τραϊανό Δέλλα "τρία και τρία μας κάνει πέντε"!!!;;; "Τι βλέπετε;" ρώτησε ο Δέλλας τους δημοσιογράφους που παρευρίσκονταν στη συνέντευξη τύπου. Όλοι έδωσαν την προφανή απάντηση: "Ένα λάθος. 3+3 δεν κάνει 5". Και τους είπε στη συνέχεια: "Αυτό κάνετε πάντα. Όταν σε μια ομάδα γίνονται τρία σωστά και ένα λάθος, μιλάτε μόνο για το λάθος και σπανίως για τα σωστά".

Μην εστιάζετε πάντα στα λάθη των μαθητών σας αλλά δώστε και την απαραίτητη προσοχή στα σωστά που κάνουν.

Καλή σχολική χρονιά!